Fatoração de Polinômios

1º   caso de fatoração: colocação de um termo em evidência

Como escrever o polinômio 3a²₊ 3ab como uma multiplicação de um monômio por um binômio?

Como 3a² = 3a .a  e 3ab = 3a.b posso escrever 3a²₊ 3ab=3 a .(a+b)

O que fizemos foi transformar o polinômio 3a² ₊ 3ab em uma multiplicação de 3 a por a+b.Nesse caso dizemos que foi feita uma fatoração de 3 a² ₊ 3ab ou que 3a² ₊  3ab

foi fatorado.

 Fatorar um polinômio é expressa-lo por meio de uma multiplicação.

Existem vários casos de fatoração que devem ser utilizados de acordo com as características de polinômio a ser fatorado.

Veja o processo para a fatoração de 3a²₊  3ab :

3a²₊ 3ab=  3a . a ₊ 3a . b= 3a . (a ₊ b)

3a é o fator comum  as duas parcelas de  3a²₊ 3ab.

Assim :3 a²₊ 3ab =3 a(a+b)

Verificação:

Para verificar se a fatoração está correta basta desenvolver o produto 3a (a ₊b).

Quando escrevemos 3a²₊ 3ab = 3a(a ₊ b) destacando o fator comum 3a ,dizemos que o colocamos em evidencia.

Veja que para encontrar o fator comum as vezes precisamos escrever os termos do polinômio de outra forma,como,por exemplo,o polinômio 10x²- 15x pode ser escrito assim:

10x²-15x=2x².5x-3.5x=5x(2x-3)

 

2º caso de fatoração: agrupamento

Analise a expressão ax ₊ 2a ₊5x ₊ 10,um polinômio de quatro termos.Não existe um fator comum aos quatro termos.Mas,agrupando-os de forma conveniente ,podemos fazer a sua fatoração aplicando duas vezes o 1º caso de fatoração.Veja:

ax ₊ 2a ₊ 5x₊ 10             A fatoração de dois grupos separadamente,deve “gerar”um fator comum para um nova fatoração!

a(x ₊2) ₊ 5(x ₊2)

(x ₊2) . (a ₊ 5)

3º caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito

No estudo dos produtos notáveis você viu que o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois termos nos dão trinômios como resultados.Por exemplo :

a)     (x ₊ 5)² = x²₊10x ₊ 25

b)      (3x ₊ 10)² =9 x² ₊ 60 x ₊ 100

Cada um dos trinômios obtidos é conhecido por trinômio quadrado perfeito .O caminho inverso do que aparece acima é a fatoração do trinômio.Veja :

a)     x² ₊ 10x ₊ 25 =(x ₊ 5)²

b)     9x² ₊ 60 x _{+ ­}100= ( 3x ₊ 10)²